Verlust-Rechnung

1. Einleitung

Dieser Artikel befasst sich mit der Simulation einer Schlacht zwischen 2 Armeen. Es wird hierbei angenommen, dass jede Einheit stets die Möglichkeit hat einen Gegner zu bekämpfen, was manche Nahkampf-Schlachten, bei denen die hinteren Reihen untätig ausschließt, bei Anwendung von Distanzwaffen jedoch meist gelten sollte.
Es wird zunächst ein mathematisches Modell eines solchen Aufeinandertreffens hergeleitet und anschließend angewandt. Wer kein Interesse an der Herleitung hat, kann diese überspringen und gleich mit den Schlussfolgerungen fortfahren.

2. Herleitung

Die Schlacht wird in Runden aufgeteilt, wobei jede Armee pro Runde dem Gegner Schaden von s-mal ihrer eigenen Stärke zufügt. Die Stärken der beiden Armeen in der n-ten Runde seien an und bn, ihre Ausgangsstärken a0 und b0.
Daraus ergibt sich:
an = an-1 - bn-1*s bn = bn-1 - an-1*s
a1 = a0 - b0*s b1 = b0 - a0*s
a2 = a0 - b0*s - (b0 - a0*s)*s
= a0 - 2b0s + a0s2
b2 = b0 - a0*s - (a0 - b0*s)*s
= b0 - 2a0s + b0s2
a3 = a0 - 2b0s + a0s2 - (b0 - 2a0s + b0s2)*s
= a0 - 3b0s + 3a0s2 - b0s3
b3 = b0 - 2a0s + b0s2 - (a0 - 2b0s + a0s2)*s
= b0 - 3a0s + 3b0s2 - a0s3
usw.
PASCAL'sches Koeffizienten-Schema
1
11
121
1331
14641
k0k1...kn-1kn
k0k0+k1...kn-1+knkn

Hieraus lässt sich vermuten, dass allgemein an = k0a0(-s)0+k1b0(-s)1+ ... +kn[a bzw. b]0(-s)n (und bn analog dazu) mit Koeffizienten k entsprechend Pascal'schem Koeffizienten-Schema gilt.
Diese vermutung lässt sich durch vollständige Induktion bestätigen. Für n=0 ist sie erfüllt, von n zu n+1 gelangt man folgendermassen:
an = k0a0(-s)0+k1b0(-s)1+ ... +kn[a bzw. b]0(-s)n; bn = k0b0(-s)0+k1a0(-s)1+ ... +kn[b bzw. a]0(-s)n;
an+1=k0a0(-s)0+k1b0(-s)1+ ... +kn[a bzw. b]0(-s)n
+k0b0(-s)0+1+k1a0(-s)1+1+ ... +kn-1[a bzw. b]0(-s)n-1+1+kn[b bzw. a]0(-s)n+1
=k0a0(-s)0+(k0+k1)b0(-s)1+ ... +(kn-1+kn)[a bzw. b]0(-s)n+kn[b bzw. a]0(-s)n+1
bn+1 analog
Diese Formel lässt sich zusammenfassen zu an = a0["sgerade-Glieder" von (1-s)n] + b0["sungerade-Glieder" von (1-s)n].
Da bei Subtraktion von (1-s)n und (1+s)n sich die geraden Potenzen von s aufheben gilt ["sungerade-Glieder" von (1-s)n] = [(1-s)n - (1+s)n]/2 und ["sgerade-Glieder" von (1-s)n] = [(1-s)n + (1+s)n]/2.
Daraus folgt:
an = a0[(1-s)n + (1+s)n]/2 + b0[(1-s)n - (1+s)n]/2 = (a0+b0)(1-s)n/2 + (a0-b0)(1+s)n/2
bn = (a0+b0)(1-s)n/2 + (b0-a0)(1+s)n/2
Nebenrechnung
abx=cdx
bx+logba = dx+logdc
bx+logba = b(x+logdc)logbd
x+logba = (x+logdc)logbd
x(1-logbd) = logdc*logbd
x = (logdc*logbd)/(1-logbd)
x = [logb(c/a)]/[logb(b/d)]
abx / cdx vertauschbar, daher:
x = [logd(a/c)]/[logd(d/b)]
Um die nach der Schlacht verbliebene Stärke der siegreichen Armee zu berechnen, muss zunächst die Dauer der Schlacht bestimmt werden. Nimmt man a als Verlierer an, so muss dazu die Gleichung
0 = (a0+b0)(1-s)x/2 + (a0-b0)(1+s)x/2 nach x aufgelöst werden.
Unter Verwendung der Nebenrechnung ergibt sich x = [log1-s((b0-a0)/(b0+a0))]/[log1-s((1-s)/(1+s))] = [log1+s((b0+a0)/(b0-a0))]/[log1+s((1+s)/(1-s))].
Durch Einsetzen in die Formel für bn kann nun die verbleibende Truppenstärke bx berechnet werden.

Diese Formel ist jedoch noch unhandlich und für hohe s ungenau, da die Truppenstärke während einer Runde fälschlicherweise als konstant angenommen wird. Eine dem aktuellen Trend angemessenere Echtzeit-Formel erhält man, indem man s=1/∞ wählt und dadurch unendlich viele Runden erhält.
Da s damit ganz klein ist, ist s2 ganz ganz klein und dadurch vernachlässigbar. Dadurch gilt:
(1-s)/(1+s) = (1-s-2s2)/(1+s) = 1-2s
(1-s)2 = 1-2s+s2 = 1-2s
log1-s[(1-s)/(1+s)] = 2
analog: log1+s[(1+s)/(1-s)] = 2
Dadurch ergibt sich schließlich bx = (b0+a0)[(b0+a0)/(b0-a0)]1/2/2 + (b0-a0)[(b0+a0)/(b0-a0)]1/2/2
= (b0+a0)(b0-a0)/(b0+a0)/2 + (b0-a0)(b0+a0)/(b0-a0)/2 = b02-a02


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